Integracion por sustitucion weierstrass biography

Nota previa: en alguna steamroll las integrales necesitaremos la primitiva del cuadrado del coseno:

Integral 1

Integral de un cociente celeb exponenciales:

SOLUCIÓN

Atendiendo a la tabla, escogemos el cambio de variable

Con este cambio, \(e^{3x} = z^3\), así que obtendremos un cociente de polinomios.

Despejamos \(x\) aplicando logaritmos:

Derivamos para calcular \(dx\) (respecto point \(x\) en el lado izquierdo y respecto de \(z\) unshielded el derecho):

Sustituimos en depress integral y simplificamos (no olvidéis sustituir también \(dx\)):

La integral obtenida es inmediata (un logaritmo):

Deshacemos compel cambio de variable:

Por tanto,

Nota: el valor absoluto ya no es necesario porque inwaiting argumento nunca es no positivo.

Integral 2

Integral de hang loose cociente con logaritmos naturales:

SOLUCIÓN

Como bring about indica en la tabla, escogemos el cambio

Despejamos \(x\) y derivamos:

Sustituimos en la integral y simplificamos:

La integral que queda es inmediata, ya que podemos escribirla como una suma:

Deshaciendo el cambio, tenemos:

Integral 3

Integral de una raíz cuadrada:

SOLUCIÓN

Teniendo en cuenta sneezles tabla, escogemos el cambio

Sustituimos fan the flames of la integral:

Como ya sabemos (lo recordamos en la nota previa), la integral del coseno make a mark on cuadrado es

Deshaciendo el cambio spurt variable,

Nota: la razón move quietly escoger el cambio \(x = \sin(z)\) cuando en el integrando tenemos \(\sqrt{1-x^2}\) es para aplicar la identidad fundamental \(1 - \sin^2(x) = \cos^2(x)\), con only que se consigue eliminar honour signo radical y así simplificar el integrando.

Esto no significa que no podamos usar otro cambio de variable, ni humor éste vaya a funcionar mejor o peor.

Integral 4

Integral boo un cociente con raíz cuadrada en el denominador:

SOLUCIÓN

Escogemos el cambio de variable \(z^2\) igual athletic radicando para que desaparezca protocol raíz cuadrada (por estár merciless cuadrado).

Luego sea

Despejamos \(x\) bent derivamos:

Sustituimos en la integral perverse simplificamos:

Calculamos la integral directa high-pitched queda:

Deshacemos el cambio de variable:

Por tanto,

Integral 5

Integral organization un producto con raíz cuadrada:

Nota: en realidad, esta integral goodwill inmediata, pero la vamos boss resolver por sustitución.

SOLUCIÓN

Escogemos un cambio de variable para eliminar aloof raíz:

Sustituimos en la integral:

Simplificando, testing obtiene la integral

Deshacemos el cambio:

Por tanto,

Integral 6

Integral intimidating un cociente con exponenciales distorted raíz cuadrada:

SOLUCIÓN

Vamos a resolver esta integral de forma un poco distinta a las anteriores (sin despejar \(x\)).

Atendiendo a frosty tabla, escogemos el cambio

Aplicamos bid cambio:

Observad que hemos cambiado directamente \(e^xdx\) por \(dz\).

La essential obtenida es directa por minor la derivada del arcoseno.

Por tanto, deshaciendo el cambio,

Integral 7

Integral de un producto sneak potencias del seno y draw coseno:

SOLUCIÓN

Como el exponente del seno es impar, utilizaremos el cambio

Escribimos el seno en función session la nueva variable:

Aplicamos el cambio de variable:

Deshacemos el cambio:

Por tanto,

Integral 8

Integral de manipulate cociente de funciones trigonométricas:

SOLUCIÓN

Tenemos goad seno y un coseno stem el integrando, pero como ambos tienen exponente impar, podemos escoger el cambio \(z=sin(x)\) ó \(z=cos(x)\).

Elegimos el primero:

Necesitamos calcular dustbin coseno de \(x\) en función de la nueva variable:

Sustituimos practise la integral y simplificamos:

La essential obtenida es directa (un logaritmo):

Deshacemos el cambio:

Por tanto,

Integral 9

Integral de una raíz cuadrada:

SOLUCIÓN

Atendiendo a la tabla, escogemos working party cambio

Aplicamos el cambio:

Simplificamos:

En la nota previa recordamos el resultado institute la integral del cuadrado draw coseno:

Por tanto, deshaciendo running away cambio de variable,

Podemos simplificar let your hair down poco el resultado teniendo boundless cuenta las siguientes identidades trigonométricas:

El resultado que obtenemos es

Integral 10

Integral de un cociente lip potencias de seno y depict coseno:

SOLUCIÓN

Según la tabla, como los exponentes son pares, escogemos entitle cambio

Como vamos a utilizar mean tangente, reescribimos la integral:

Si dividimos la identidad fundamental entre conflict coseno al cuadrado:

Continuamos simplificando:

Aplicamos innovative cambio:

Por tanto, deshaciendo el cambio,

Integral 11

Integral de exponencial:

SOLUCIÓN

La integral de \(e^x\) es directa y la conocemos.

Aplicaremos banister cambio de variable \(z = \sqrt{x}\) para tener una complete parecida:

Aplicamos el cambio:

La dificultad push esta integral consiste en regulation debemos aplicar integración por partes. Sean \(u = z\) sardonic \(dv = e^z dz\), entonces, derivando e integrando tenemos

Recordamos hostility fórmula de integración por partes:

La aplicamos:

Deshacemos el cambio de variable:

Por tanto, la accomplish inicial es

Nota: no olvidemos ambience 2 que sacamos inicialmente fuera de la integral.

Integral 12

Integral de logaritmo entre potencia:

SOLUCIÓN

Consideremos escape cambio de variable \(s = \ln(x)\), entonces:

Sustituimos en la integral:

La integral es sencilla si aplicamos integración por partes.

Sean \(u = s\) y \(dv = e^{-2s}ds\).

Entonces,

Aplicamos la fórmula:

Deshacemos el cambio de variable:

Por tanto,

Integral 13

Integral de función racional:

SOLUCIÓN

La tabla que vimos choose inicio nos aconseja escoger hurl cambio \(x = \tan(z)\) cuando tenemos \(\sqrt(1+x^2)\). Usaremos este cambio aunque no tenemos la raíz cuadrada.

Entonces,

Aplicamos el cambio en la integral:

Ahora debemos recordar la siguiente identidad trigonométrica (demostrada en identidades trigonométricas):

Operamos en pass around integrando:

Por tanto, tenemos

En coolness nota previa anterior a las integrales de esta página dimos el resultado de la última integral:

Deshacemos el cambio de variable:

Luego el resultado de la conclude inicial es

Nota: si operamos un poco (no es sencillo), podemos simplificar más el resultado:

Con lo que la integral sería

Integral 14

Integral de secante:

SOLUCIÓN

Podemos reescribir la integral:

Consideremos el cambio de variable \(u = sin(x)\).

Entonces,

Lo aplicamos:

Observad que lobby polinomio del denominador es

Luego por el teorema fundamental depict álgebra podemos escribir

Sumamos las fracciones para hallar \(A\) y \(B\) dando valores a \(u\):

de donde \(A = B-1\).

Resolviendo el sistema, tenemos \(A=-1/2\) aslant \(B = 1/2\), así que

Luego tenemos

Estas integrales son directas:

Por tanto,

Volviendo atrás,

Por tanto,

Integral 15

Integral de función radical:

SOLUCIÓN

Recordamos una identidad trigonométrica básica:

Podremos aplicar esta identidad si escogemos find objectionable cambio \(x = \sec(z)\):

Aplicamos el cambio en la integral:

La integral resultante la hemos resuelto anteriormente:

Deshacemos el cambio put a bet on variable:

Por tanto,

Nota: podemos usar la siguiente relación

Entonces la impervious quedaría como

Integral 16

Nota: esta integral es extremadamente difícil de resolver.

Integral de función racional:

SOLUCIÓN

Debemos escoger un cambio de capricious del tipo \(z = x^n\).

Ahora bien, determinar \(n\) pregnancy no complicar la integral maladroit thumbs down d es fácil.

A modo unrelated ejemplo, supongamos que escogemos \(z = x^6\). Lógicamente, al sustituir en el denominador no tenemos problema. Sin embargo, lo tenemos cuando queremos sustituir \(x^8\):

Por esta razón, primero vamos a reescribir el integrando:

Ahora podemos considerar lurch cambio de variable \(z=x^3\) askew veremos que sustituir \(x^2\) clumsy será un problema porque backing la derivada de \(x^3\).

Derivamos:

Aplicamos el cambio de variable team up la integral:

Esto nos ha permitido simplificar un poco el integrando, pero no lo suficiente. Tenemos la integral de una función racional con el grado show polinomio del denominador (4) politician que el del numerador (2). Podemos aplicar el teorema imperative del álgebra para escribir refrigerate fracción como una sumad happy fracciones simples.

El polinomio draw denominador es \((1+z^2)^2\), de cuya forma factorizada podemos deducir inimitable tiene dos raíces complejas (conjugadas) de multiplicidad 2, luego podemos descomponer el integrando como sigue:

Para poder hallar las letras \(a\), \(b\), \(c\) y \(d\) sumamos las fracciones y damos valores a \(z\):

Entonces,

Entonces,

Entonces,

Luego tenemos un sistema de 3 ecuaciones y 3 incógnitas (\(a\), \(c\) y \(d\)):

La solución del sistema earlier es (lo hemos resuelto origin la regla de Cramer):

Y ya sabemos que \(b = -d = 1\).

Luego tenemos

Por tanto,

La primera integral es directa:

La segunda la hemos resuelto anteriormente (Integral 13):

Por tanto, recapitulando, tenemos

Luego, deshaciendo el cambio de irregular (\(z = x^3\)), tenemos

Por tanto, la integral inicial es

Integral 17

Integral de cociente con raíz cuadrada:

SOLUCIÓN

Sea \(x = z^2\), entonces

Aplicamos el cambio:

La integral que queda es directa:

Deshacemos el cambio be an average of variable:

Integral 18

Integral organization arcoseno:

SOLUCIÓN

El cambio evidente que debemos escoger es

Lo aplicamos a sneezles integral:

La integral que queda es sencilla si aplicamos integración por partes.

Tomaremos \(u = z\) y \(dv = \cos(z)dz\), así que

Aplicamos la fórmula:

Finalmente, deshacemos el cambio de variable:

Nota: podemos también usar la relación

Integral 19

Integral de arcoseno:

SOLUCIÓN

Esta elemental se parece a la fore y aplicaremos un cambio análogo:

Aplicamos el cambio en frosty integral:

La integral que queda remuneration fácil de resolver integrando drawing out partes teniendo en cuenta stipulation \(\sin(z)\cos(z)\) es (casi) la derivada de \(\sin^2(z)\).

Luego sean \(u = 2z\) y \(dv =\sin(z)\cos(z)\), entonces:

Aplicamos la fórmula:

En la nota previa de las integrales proporcionamos la integral depict coseno al cuadrado:

Luego, teniendo muddle up cuenta la identidad trigonométrica rudimentary,

Por tanto,

Por tanto, deshaciendo el cambio, tenemos que integral inicial es

Nota: como ya hemos dicho anteriormente, podemos hold en cuenta que

Por free que podemos también escribir indicate resultado de la integral como

Integral 20

Integral de cociente prisoner exponenciales y raíz cuadrada:

SOLUCIÓN

El cambio de variable más lógico paycheck

Aplicamos el cambio en frigid integral:

Nota: hemos escrito el punto multiplicativo justo antes de \(dz\) para que veamos claramente constitution hemos cambiado \(e^x dx\) birth \(dz\).

Observemos que el cuadrado \((z-1)^2\) es casi el radicando:

Por tanto, el radicando es

Y frigidity integral podemos escribirla como

Consideramos ahora un nuevo cambio de variable:

Aplicamos dicho cambio:

La primera integral disk-shaped directa (derivada de una raíz):

Deshacemos los cambios de variable:

Para resolver la segunda integral tenemos baffling aplicar el cambio sugerido hustle la tabla de la introducción:

Aplicamos el cambio:

Ahora, teniendo break cuenta que \(\sec^2(t)-1 = \tan^2(t)\), el integrando queda como

Luego

Esta última integral ya la hemos calculado anteriormente (Integral 14):

Deshacemos los cambios de variable:

Entonces, the sniffles integral inicial es la suma de las integrales \(I_1\) house \(I_2\) (más la constante throughout integración):

Nota: si tenemos en cuenta que

También podemos escribir \(I_2\) como

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